HercegBosna.org

Robbie MO

Ministry of Sound je napisao/la:

Robbie MO je napisao/la:

Inače jedan pametan trik za zadatke s vjerojatnostima.
Nekad je puno lakše izračunat vjerojatnost da se nešto ne desi, nego da se desi.

Tada jednostavno izračunamo vjerojatnost da se ne desi, a vjerojatnost da se desi je onda 100% minus ta prva vjerojatnost.

# Primjer: Izračunati vjerojatnost da pri izvlačenju dviju kuglica iz posude s 4 plave i 5 crvenih, barem jedna bude crvena.

Uvjet "barem jedna crvena" ustvari znači "jedna, ili dvije, ili tri, ili četiri, ili pet crvenih". Mukotrpno je računati vjerojatnosti svih mogućih pozitivnih scenarija. Stoga postoji prečica.
Rješenje: Vjerojatnost da izvučemo barem jednu crvenu jednaka je (100% -vjerojatnost da NE izvučemo ni jednu crvenu).
Vjerojatnost da ne izvučemo crvenu u izvlačenju prve kuglice je 4/9 (jer je 5/9 vjerojatnost da izvučemo crvenu: zbroj ova dva mora biti 1). Nakon izvlačenja preostalo je 8 kuglica- 5 crvenih i 3 plave.
Vjerojatnost da ni u drugom izvlačenju ne izvučemo crvenu je 3/8.
Ukupna vjerojatnost se množi (jer moramo zadovoljit oba zahtjeva, "pobijedit u obje utakmice"): p=(4/9)*(3/8)=1/6. I to je vjerojatnost da u dva pokušaja ne izvučemo nijednu crvenu.
Sada je vjerojatnost da izvučemo barem jednu crvenu jednostavno: 1-(1/6)=5/6=83,3%. I to je to.

# Taj trik neće ubrzati rješenje za ovaj drugi zadatak što si stavio, ali evo možemo ga upotrijebiti da vidiš da radi.
Vjerojatnost da NE IZVUČEMO jednu plavu i jednu bijelu = vjerojatnost da smo izvukli ILI dvije plave ILI dvije bijele.

Vjerojatnost da izvučemo dvije plave je:
(4/7)*(3/6)
Vjerojatnost da izvučemo dvije bijele je:
(3/7)*(2/6)

Vjerojatnost za dvije plave ili dvije bijele: (4/7)*(3/6) + (3/7)*(2/6)= (4/7)*(1/2)+(3/7)(1/3)= (4/14)+(3/21)=(12+6/42)=(18/42)= 3/7

Tada je vjerojatnost za suprotan događaj jednostavno 1-(3/7) = 4/7.

Complementary events

Probability of one complementary event + probability of other complementary event = 1

Tako je, komplementarni događaji.

POL_GASOL

Citat:

Ajnstajn je tvrdio da ovaj logicki zadatak nece znati da rijesi 98% ljudi.
Dakle:

U jednom naselju nalazi se 5 susjednih kuca u 5 razlicitih boja.Vlasnik svake od njih druge je nacionalnosti.Svaki od tih ljudi pije drugacija pice, pusi cigarete razlicite marke i ima drugacijeg ljubimca. Koji od njih ima zlatne ribice???
Uputstva:

1. Englez zivi u crvenoj kuci.
2. Svedjanin ima psa.
3. Danac pije caj.
4. Zelena kuca je desno od bijele i jedna su do druge.
5. Vlasnik zelene kuce pije kafu.
6. Covjek koji pusi cigarete "Pal Mal" drzi ptice.
7. Vlasnik zute kuce pusi cigarete "Danhil".
8. Covjek koji stanuje u kuci u sredini pije mlijeko.
9. Norvezanin zivi u prvoj kuci.
10. Covjek koji pusi cigarete marke "Blends" stanuje pored covjeka koji ima macke.
11. Covjek koji drzi konje stanuje pored covjeka koji pusi cigarete "Danhil".
12. Covjek koji pusi cigarete "Blue Master" pije pivo.
13. Nemac pusi cigarete "Prince".
14. Norvezanin stanuje do plave kuce.
15. Susjed covjeka koji pusi cigarete "Blends" pije samo vodu.

mateb · **Pridružen/a:** 15 lis 2009, 01:22 **Postovi:** 3909

Sad moderatori brišu vlastite postove. :zubati

Anyway, bahata i arogantna osoba bi rekla da ovo i pijana može riješiti. :kava

Robbie MO

mateb je napisao/la:

Sad moderatori brišu vlastite postove. :zubati

Anyway, bahata i arogantna osoba bi rekla da ovo i pijana može riješiti. :kava

Ocijenio sam ih kao spam i štetne za temu (tema se pretvara u monolog). :zubati

P.S. Zavisi kolko sam pijan. :zubati

mateb · **Pridružen/a:** 15 lis 2009, 01:22 **Postovi:** 3909

Robbie MO je napisao/la:

mateb je napisao/la:

Sad moderatori brišu vlastite postove. :zubati

Anyway, bahata i arogantna osoba bi rekla da ovo i pijana može riješiti. :kava

Ocijenio sam ih kao spam i štetne za temu (tema se pretvara u monolog). :zubati

P.S. Zavisi kolko sam pijan. :zubati

Nisam govorio o tebi. :zubati

Mada, ako ćemo o bahatosti na forumskim bespućima, tu sam deeeeeeeeeebeli runner-up. :smajl034

Junuz Djipalo

mateb je napisao/la:

Robbie MO je napisao/la:

Ocijenio sam ih kao spam i štetne za temu (tema se pretvara u monolog). :zubati

P.S. Zavisi kolko sam pijan. :zubati

Nisam govorio o tebi. :zubati

Mada, ako ćemo o bahatosti na forumskim bespućima, tu sam deeeeeeeeeebeli runner-up. :smajl034

Čini ti se, ne zaboravi, s Robijem si u istom postu... :zubati

Crvena Sonja · **Pridružen/a:** 11 sij 2011, 13:22 **Postovi:** 2985

POL_GASOL je napisao/la:

Citat:

Ajnstajn je tvrdio da ovaj logicki zadatak nece znati da rijesi 98% ljudi.
Dakle:

U jednom naselju nalazi se 5 susjednih kuca u 5 razlicitih boja.Vlasnik svake od njih druge je nacionalnosti.Svaki od tih ljudi pije drugacija pice, pusi cigarete razlicite marke i ima drugacijeg ljubimca. Koji od njih ima zlatne ribice???
Uputstva:

1. Englez zivi u crvenoj kuci.
2. Svedjanin ima psa.
3. Danac pije caj.
4. Zelena kuca je desno od bijele i jedna su do druge.
5. Vlasnik zelene kuce pije kafu.
6. Covjek koji pusi cigarete "Pal Mal" drzi ptice.
7. Vlasnik zute kuce pusi cigarete "Danhil".
8. Covjek koji stanuje u kuci u sredini pije mlijeko.
9. Norvezanin zivi u prvoj kuci.
10. Covjek koji pusi cigarete marke "Blends" stanuje pored covjeka koji ima macke.
11. Covjek koji drzi konje stanuje pored covjeka koji pusi cigarete "Danhil".
12. Covjek koji pusi cigarete "Blue Master" pije pivo.
13. Nemac pusi cigarete "Prince".
14. Norvezanin stanuje do plave kuce.
15. Susjed covjeka koji pusi cigarete "Blends" pije samo vodu.

nema niko zlatne ribice.. :zubati

ivica · **Pridružen/a:** 03 lip 2009, 15:13 **Postovi:** 1743

Nalazite se u prostoriji u kojoj su tri prekidača, u drugoj prostoriji je žarulja. Jedan od tri prekidača pali žarulju u drugoj prostoriji.
Koji prekidač pali žarlju?
Imate pravo samo jednom napustiti prostoriju u kojoj se nalazite i ući u ovu drugu bez mogućnosti povratka.

Robbie MO

ivica je napisao/la:

Nalazite se u prostoriji u kojoj su tri prekidača, u drugoj prostoriji je žarulja. Jedan od tri prekidača pali žarulju u drugoj prostoriji.
Koji prekidač pali žarlju?
Imate pravo samo jednom napustiti prostoriju u kojoj se nalazite i ući u ovu drugu bez mogućnosti povratka.

Upalit prvi i držat ga par minuta upaljenog. Zatim ga ugasit i upalit drugi.
Zatim ući u prostorju.

Ako gori svjetlo, drugi prekidač je očigledno onaj koji se traži.
Ako ne gori a žarulja je vruća, onda je prvi.
Ako nije ni jedno od to gore, može se zaključiti da je treći prekidač pravi.

Robbie MO

Odlična ilustracija množenja matrica.

slika

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Beskonačne sume.

Pogledajmo slijedećih 5 suma:

1) A= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+... (i tako dalje, do beskonačnosti)

2) B= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

3) C= 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +...

4) D= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... (potencije broja 2)

5) E= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

Što mislite, koje od ovih suma, kad zbrojite sve do beskonačnosti, dobijate kao rezultat beskonačno velik broj, a koje sume daju neki konačan broj?
Da li je uopće moguće zbrojiti beskonačno mnogo pozitivnih brojeva, a da rezultat zbroja ne bude beskonačan?

Wind · **Pridružen/a:** 17 vel 2011, 14:09 **Postovi:** 3481

trokut je napisao/la:

Beskonačne sume.

Pogledajmo slijedećih 5 suma:

1) A= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+... (i tako dalje, do beskonačnosti)

2) B= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

3) C= 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +...

4) D= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... (potencije broja 2)

5) E= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

Što mislite, koje od ovih suma, kad zbrojite sve do beskonačnosti, dobijate kao rezultat beskonačno velik broj, a koje sume daju neki konačan broj?
Da li je uopće moguće zbrojiti beskonačno mnogo pozitivnih brojeva, a da rezultat zbroja ne bude beskonačan?

A?

Zadar1993

trokut je napisao/la:

Beskonačne sume.

Pogledajmo slijedećih 5 suma:

1) A= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+... (i tako dalje, do beskonačnosti)

2) B= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

3) C= 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +...

4) D= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... (potencije broja 2)

5) E= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

Što mislite, koje od ovih suma, kad zbrojite sve do beskonačnosti, dobijate kao rezultat beskonačno velik broj, a koje sume daju neki konačan broj?
Da li je uopće moguće zbrojiti beskonačno mnogo pozitivnih brojeva, a da rezultat zbroja ne bude beskonačan?

A i B teže u beskonačnost , za C i D nisam siguran, a E je konstanta 0

Aztec

POL_GASOL je napisao/la:

Citat:

Ajnstajn je tvrdio da ovaj logicki zadatak nece znati da rijesi 98% ljudi.
Dakle:

U jednom naselju nalazi se 5 susjednih kuca u 5 razlicitih boja.Vlasnik svake od njih druge je nacionalnosti.Svaki od tih ljudi pije drugacija pice, pusi cigarete razlicite marke i ima drugacijeg ljubimca. Koji od njih ima zlatne ribice???
Uputstva:

1. Englez zivi u crvenoj kuci.
2. Svedjanin ima psa.
3. Danac pije caj.
4. Zelena kuca je desno od bijele i jedna su do druge.
5. Vlasnik zelene kuce pije kafu.
6. Covjek koji pusi cigarete "Pal Mal" drzi ptice.
7. Vlasnik zute kuce pusi cigarete "Danhil".
8. Covjek koji stanuje u kuci u sredini pije mlijeko.
9. Norvezanin zivi u prvoj kuci.
10. Covjek koji pusi cigarete marke "Blends" stanuje pored covjeka koji ima macke.
11. Covjek koji drzi konje stanuje pored covjeka koji pusi cigarete "Danhil".
12. Covjek koji pusi cigarete "Blue Master" pije pivo.
13. Nemac pusi cigarete "Prince".
14. Norvezanin stanuje do plave kuce.
15. Susjed covjeka koji pusi cigarete "Blends" pije samo vodu.

Njemac i ma ribe. Fino na papir, i olovku, i polako, ha ja.

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Zadar1993 je napisao/la:

trokut je napisao/la:

Beskonačne sume.

Pogledajmo slijedećih 5 suma:

1) A= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+... (i tako dalje, do beskonačnosti)

2) B= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

3) C= 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +...

4) D= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... (potencije broja 2)

5) E= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

Što mislite, koje od ovih suma, kad zbrojite sve do beskonačnosti, dobijate kao rezultat beskonačno velik broj, a koje sume daju neki konačan broj?
Da li je uopće moguće zbrojiti beskonačno mnogo pozitivnih brojeva, a da rezultat zbroja ne bude beskonačan?

A i B teže u beskonačnost , za C i D nisam siguran, a E je konstanta 0

Većinom točno.
A i B očigledno teže u beskonačnost.
E je zapravo nedefiniran, jer može biti ili 1 ili 0, ovisno koji broj je zadnji. S obzorom da je niz beskonačan, ne znamo imamo li na kraju +1 ili -1, jer ne postoji zadnji broj.

Šta je sa C i D?

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Na drugoj stranici teme, Old Fridolin je pri računanju dobitka na ruletu iskoristio formulu:

1+2+4+...+2^n = 2^(n+1) -1

Suma D je ustvari dosta slična.
Samo što ne dodajemo duplo veći broj od prethodnog, nego duplo manji. I što proces nastavljamo u beskonačnost.

Zadar1993

trokut je napisao/la:

Zadar1993 je napisao/la:

A i B teže u beskonačnost , za C i D nisam siguran, a E je konstanta 0

Većinom točno.
A i B očigledno teže u beskonačnost.
E je zapravo nedefiniran, jer može biti ili 1 ili 0, ovisno koji broj je zadnji. S obzorom da je niz beskonačan, ne znamo imamo li na kraju +1 ili -1, jer ne postoji zadnji broj.

Šta je sa C i D?

Pretpostavljam da C i D teže broju 1 ?

DzoniBG · **Pridružen/a:** 28 sij 2010, 18:54 **Postovi:** 13005

trokut je napisao/la:

Šta je sa C i D?

C je niz harmonika i on tezi beskonacnosti.

D je konacan broj, zbog eksponencijalnog rasta imenioca razlomka ukupna vrednost se zabija u neki konacni broj...koji?! jebem li ga :001_tongue

teranova · **Pridružen/a:** 02 lip 2009, 01:05 **Postovi:** 13237

D teži jedinici ali je nikad ne dostiže.

DzoniBG · **Pridružen/a:** 28 sij 2010, 18:54 **Postovi:** 13005

teranova je napisao/la:

D teži jedinici ali je nikad ne dostiže.

Tacno...

Sad sam malo prostudirao, to je geometrijski niz, koji obicno pocinje sa 1+1/2... i on tezi dvojci jer mu je lim (2-1/2^n) kad n poteras u pijanu 8 bas dvica... posto je u ovom primeru krenuo od 1/2, suma tezi 1.

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

DzoniBG je napisao/la:

teranova je napisao/la:

D teži jedinici ali je nikad ne dostiže.

Tacno...

Sad sam malo prostudirao, to je geometrijski niz, koji obicno pocinje sa 1+1/2... i on tezi dvojci jer mu je lim (2-1/2^n) kad n poteras u pijanu 8 bas dvica... posto je u ovom primeru krenuo od 1/2, suma tezi 1.

Tako je.

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Evo jedna lijepa geometrijska ilustracija da je 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... = 1

Površina cijelog kvadrata je 1.

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Drugi "sporni" niz, 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +... , je beskonačan, kao što ste već naslutili.

Naravno postoji velik broj dokaza, a evo jedan jednostavan i lijep, iako ga se nije baš lako sjetiti:

Naime, ako udružimo pribrojnike u blokove, od kojih je svaki veći od 1/2:

1/2+
1/3+1/4+
1/5+1/6+1/7+1/8
1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16
(...)

gdje broj članova u bloku raste kao potencija broja dva (nije poteškoća to što raste, bitno je da se ovakvo sortiranje može uvijek napraviti, jer nam je na rasplaganju beskonačno mnogo brojeva).

Tada vrijedi za svaki redak da je veći ili jednak 1/2, što se vidi slijedećom konstrukcijom:

1/3+1/4 > 1/4+1/4 = 1/2

1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4 * 1/8= 1/2

1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16 > 8 * (1/16) = 1/2

i tako dalje.

Ovakvih blokova ima beskonačno mnogo (ne smeta to što im veličina raste, jer nikad nećemo iscrpiti sav materijal za njih), stoga je očito suma njihovih vrijednosti veća od 1/2+1/2+1/2+..., to jest, beskonačna je.

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Za kraj lekcije o beskonačnim redovima, matematički riječnik:
Konvergentni redovi su oni čija je vrijednost konačna. Kažemo da konvergiraju.
Divergentni redovi su oni čija je vrijednost beskonačna. Kažemo da divergiraju.

I desert za kraj, jedan zanimljivi red!
Spomenuli ste broj PI, najpoznatiji iracionalni broj.

Zbrajanjem beskonačno mnogo recipročnih kvadrata, dobija se, na veliko iznenađenje:
slika

(za one koji ne znaju, grčko slovo sigma je znak sume: ova gore doslovno znači "zbrajaj od n=1 do beskonačnosti". Gornja suma je skraćeni zapis od: slika

)

trokut · **Pridružen/a:** 01 stu 2011, 08:41 **Postovi:** 361

Tema je možda zanimljiva, pa evo publici bis. :zubati

Kakve veze ima ovaj beskonačni izraz sa najpoznatijom slikom na svijetu?

$slika$

slika

Pomoć:

Citat:

Leonardo da Vinci bio je talijanski slikar, arhitekt, izumitelj, glazbenik, kipar, mislilac, matematičar i inženjer.

HercegBosna.org

Matematika

Online